山下さんの父親は俳優の加山雄三さんで母親は元女優の松本めぐみさんです。
兄弟には女優・料理研究家の梓真悠子さんと女優の池端えみさんという芸能一家です。
また、祖父には俳優の上原謙さん、祖母に女優の小桜葉子さんがいます。

さらに、明治の元勲岩倉具視の傍系6代目の子孫（来孫）にあたるなどすごい家系に産まれています。

山下徹大さんというのは芸名ですが2019年に加山 徹（かやま てつ）さんに変わりました。
下記に記載していますが、俳優デビューをしたときは加山雄三さんの息子だと分からない芸名をつけました。また「加山」とつけるのは絶対嫌だった山下さんが「加山 徹」さんに変えたのにはいくつか理由があります。

・加山雄三さん自身も「若大将」のイメージを傷つけないように若い頃からずっと努力を続けていることが分かり。心のわだかまりがなくなったようです。
・2018年に加山雄三さんの船「光進丸」が全焼するという事件が起こり、寝込むほど落ち込んだそうです。その落ち込みようは家族が交代で看病するほどでした。
しかし、なんとか歩けるようになりコンサートの為ハワイに行くと、どんどん回復し完璧なパフォーマンスをしたそうです。
その姿をみた山下さんは改名を決意したそうです。

そして、改名することを加山雄三さんに「加山の名前を継がせてほしい。」と伝えると、「ああ、もちろんいいさ」と喜んだそうです。
そして、自身の加山雄三と同じ23画ということで「加山徹だな」と真剣に考えてくれたそうです。

ドラマ「終わらない夏」で俳優デビューすると、その後も数多くの作品に出演するようになりました。
また、ドラマだけではなく舞台にも挑戦し映画にも出演するなど俳優としての地位を確立

・踊る大捜査線
・プライド
・水曜ミステリー9「信濃のコロンボ事件ファイル8」
・やすらぎの刻〜道　他

・ゴジラ×メガギラス G消滅作戦
・蟬しぐれ
・長州ファイブ
・ICHI　他

出身小学校は慶應義塾幼稚舎です。
慶應義塾幼稚舎は数多くの有名人が卒業していることでも有名です。

・森泉（モデル、タレント、森英恵の孫)
・竹田恒泰（評論家、竹田恆和の子）
・櫻井翔（アイドル・嵐）
・石原良純（俳優、タレント、気象予報士）　他

小学校の頃の情報がなくどのような少年時代を過ごしたか分かりません。
ただ、まだ低学年の頃電車で帰宅していた際に、一緒に乗っていた同級生から「加山雄三息子なんだよ」と言われたことがありました。
その言葉に周りに乗っていた人達も山下さんを見ていたようで、その時の好奇の目にに居心地が悪くなったそうです。

出身中学・高校は、小学校からの慶應義塾幼稚舎が大学までの一貫教育校ですので、中学・高校もそのままエスカレータ式で進学されていると思われます。

中学や高校の時に部活に入っていたのか、どんな学生生活を送っていたのかも情報がなく残念ながら分かりませんでした。

1992年の17歳の時に日本テレビ「24時間テレビ」」の「サライ」を聞くために武道館に行ったことがあるそうです。

その際に番組のディレクターが山下さんを見つけ加山雄三さんの所属する事務所に「ドラマに出てほしい」とスカウトしたそうです。
その話を父親である加山雄三さんから聞き、山下さんは「やりたい」と答えました。

デビューをすぐに決まりました。その時に決める芸名では加山雄三さんの子供だと分からない様にしたかったようで「山下徹大」となったんだとか。

絶対に「加山だけは嫌だった」そうです。

希望通り加山雄三さんの息子だということは隠して活動していましたが何かのきっかけで息子ということが分かってしまうことがありました。
そうするとスタッフさんが今までと違う態度で接してくるそうです。
さらに、バラエティ番組に出演した際に共演者の楽屋に挨拶回りをしていた時も、挨拶を無視するベテラン芸能人もいたそうです。
しかし、番組内で加山雄三さんの息子だとばらされると、挨拶の時に無視していたベテラン芸能人の方が収録が終わるとすぐに近寄ってきて話しかけてきたそうです。
そんな姿を見て傷ついたと同時に自分はこんな人にならないと誓ったそうです。